![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Jul. 18th, 2013
http://314159.ru/sokolchuk/sokolchuk1.htm
ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ, ФРАКТАЛЫ И ХАОС
В СВЯЗИ С НЕКОТОРЫМИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ О МИРОЗДАНИИ
Сокольчук К.Ю., Остапович В.В. (Научно-технический центр «Булат НВР», г.Киев, Украина)
Определение. Фракталом будем называть структуру, состоящую из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Сам термин "фрактал" означает "дробный". Когда вы всматриваетесь во фрактальную форму, то видите одну и ту же структуру независимо от степени увеличения. Такое подобие можно увидеть в природе, рассматривая при разном приближении горы, облака, береговые линии и т.п. Его можно встретить, исследуя формы молекул или галактик. Фрактальность стремительно становится одной из самых емких метафор для объяснения и понимания мира.
Однако абсолютно точного определения фрактала не существует. Возможно, когда-нибудь оно будет найдено, но такого может и не случиться ввиду того, что фрактальная геометрия есть геометрия природы. Дефиниция фрактала стоит в одном ряду с дефиницией природы.
Концепция фрактальности мироздания и отдельных его элементов возникла во второй половине ХХ века в рамках новой научной парадигмы, объединяющей синергетику, кибернетику, информатику и другие теории, имеющие универсальное значение для любых явлений бытия. Фрактальная гипотеза базируется на представлениях теории хаоса и нелинейных динамических систем. В силу этого, а также некоторых других свойств (иерархичность структуры, обратная связь, чувствительность к начальным условиям и т.п.), фрактальные объекты обладают повышенной устойчивостью и приспособляемостью к внешним условиям по сравнению со статическими системами.
Математический алгоритм построения фракталов мироздания. Для математического моделирования построения фракталов, как нелинейных динамических систем, общепринято использовать рекуррентные формулы. Объекты, построенные с помощью рекурсии, обладают внутренним самоподобием и устойчивостью к ошибкам (случайным и систематическим). Кроме того, и это представляется важным, рекурсия – необходимое свойство автокреационных (т.е. строящих сами себя) систем. Нами в качестве алгоритма был выбран суммационный ряд Фибоначчи, т.к. в различных объектах природы (прежде всего, «живой») он проявляется слишком часто, что бы это было случайностью.
Результаты моделирования фрактальных объектов Фибоначчи.
Следуя работам проф. А.П.Стахова, обобщим формулу Бине (генерирующую ряд Фибоначчи) на множество всех действительных чисел. Полученную функцию:
F(x) =( φx-(-φ)-x)/√5 (1)
будем называть «программа Фибоначчи». Как и для ряда Фибоначчи, для нее на множестве действительных чисел выполняются соотношения:
F(x+1) = F(x) + F(x-1) (2)
F(x+1)/F(x) → φ при х→ +∞, φ = (1+√5)/2 = 1,6180… (3)
F(x+1)/F(x) → -1/φ при х→ - ∞ (4)
Функция F(x) принадлежит области комплексных чисел, только в отдельных точках выходя в область действительных (при х целочисленном). Фазовый портрет программы Фибоначчи (в общем случае) – спираль и затухающая синусоида (рис.1) вдоль оси Х (действительной части комплексного числа).
ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ, ФРАКТАЛЫ И ХАОС
В СВЯЗИ С НЕКОТОРЫМИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ О МИРОЗДАНИИ
Сокольчук К.Ю., Остапович В.В. (Научно-технический центр «Булат НВР», г.Киев, Украина)
Определение. Фракталом будем называть структуру, состоящую из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Сам термин "фрактал" означает "дробный". Когда вы всматриваетесь во фрактальную форму, то видите одну и ту же структуру независимо от степени увеличения. Такое подобие можно увидеть в природе, рассматривая при разном приближении горы, облака, береговые линии и т.п. Его можно встретить, исследуя формы молекул или галактик. Фрактальность стремительно становится одной из самых емких метафор для объяснения и понимания мира.
Однако абсолютно точного определения фрактала не существует. Возможно, когда-нибудь оно будет найдено, но такого может и не случиться ввиду того, что фрактальная геометрия есть геометрия природы. Дефиниция фрактала стоит в одном ряду с дефиницией природы.
Концепция фрактальности мироздания и отдельных его элементов возникла во второй половине ХХ века в рамках новой научной парадигмы, объединяющей синергетику, кибернетику, информатику и другие теории, имеющие универсальное значение для любых явлений бытия. Фрактальная гипотеза базируется на представлениях теории хаоса и нелинейных динамических систем. В силу этого, а также некоторых других свойств (иерархичность структуры, обратная связь, чувствительность к начальным условиям и т.п.), фрактальные объекты обладают повышенной устойчивостью и приспособляемостью к внешним условиям по сравнению со статическими системами.
Математический алгоритм построения фракталов мироздания. Для математического моделирования построения фракталов, как нелинейных динамических систем, общепринято использовать рекуррентные формулы. Объекты, построенные с помощью рекурсии, обладают внутренним самоподобием и устойчивостью к ошибкам (случайным и систематическим). Кроме того, и это представляется важным, рекурсия – необходимое свойство автокреационных (т.е. строящих сами себя) систем. Нами в качестве алгоритма был выбран суммационный ряд Фибоначчи, т.к. в различных объектах природы (прежде всего, «живой») он проявляется слишком часто, что бы это было случайностью.
Результаты моделирования фрактальных объектов Фибоначчи.
Следуя работам проф. А.П.Стахова, обобщим формулу Бине (генерирующую ряд Фибоначчи) на множество всех действительных чисел. Полученную функцию:
F(x) =( φx-(-φ)-x)/√5 (1)
будем называть «программа Фибоначчи». Как и для ряда Фибоначчи, для нее на множестве действительных чисел выполняются соотношения:
F(x+1) = F(x) + F(x-1) (2)
F(x+1)/F(x) → φ при х→ +∞, φ = (1+√5)/2 = 1,6180… (3)
F(x+1)/F(x) → -1/φ при х→ - ∞ (4)
Функция F(x) принадлежит области комплексных чисел, только в отдельных точках выходя в область действительных (при х целочисленном). Фазовый портрет программы Фибоначчи (в общем случае) – спираль и затухающая синусоида (рис.1) вдоль оси Х (действительной части комплексного числа).